By Harald Bohr (auth.)
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Example text
M T-+ p in Ver- f (x), die gewünschte Relation T T-+oo p) gesetzt mp+r woraus sich, wegen der für T--+ oo gültigen Grenzgleichung lim T1 /" f(x) dx < + Jt(x) dx, 0 bindung mit der Beschränktheit von Y Beweis. Wir wenden das allgemeine Konvergenzprinzip an. Es sei also e > 0 beliebig gegeben; wir haben die Existenz einer Zahl T 0 = T 0 (e) derart zu zeigen, daß für T 1 > T 0 , T 2 > T 0 die Ungleichung T, T, 1 . 1 . ' 1--} f(x)dx- --} f(x)dx < 2e Tl T2 I I 11 0 0 besteht. Der Beweis hierfür wird in mehreren Schritten geführt.
459J 39 Der Beweis ist dem obigen analog. Nach der Ungleichung (4) besteht für jedes x die Ungleichung I~ T (f(x 0 + t) f(t) dt """""'M{l(x + t) l(t)}/I < t E > T0, x = für T (i) wenn mit Fz und Lz die zu der Funktion F z (t) hörigen Zahlen bezeichnet werden. Nun ist immer II Für spätere Anwendungen wird es von Bedeutung sein, explizit zu wissen, wie groß wir T wählen müssen, um sicher zu sein, T daß der "endliche" Mittelwert ~-jf(x) dx den "wirklichen" Mittelwert 0 M {t (x)} bis auf einen vorgegebenen Fehler approximiert. Eine solche Angabe ist unmittelbar dem obigen Beweise zu entnehmen. Wir brauchen nur (nachdem die Existenz des Mittelwertes M {f (x)} jetzt festgestellt ist) in der Ungleichung (2) den Grenzübergang n _. ' j;-j f(x)dx- M{/(x)}l < 8 für T > T0 = 4I'L(-~) --~.