By Guido Boffetta, Angelo Vulpiani
Questo testo, che nasce dall'esperienza didattica degli autori, si propone di introdurre gli aspetti fondamentali della teoria della probabilit� e dei processi stocastici, guardando con particolare attenzione alle connessioni con los angeles meccanica statistica, il caos, le applicazioni modellistiche ed i metodi numerici. los angeles prima parte è costituita da un' introduzione generale alla probabilit� con particolare enfasi sulla probabilit� condizionata, le densit� marginali ed i teoremi limite. Nella seconda parte, prendendo spunto dal moto Browniano, sono presentati i concetti fondamentali dei processi stocastici (catene di Markov, equazione di Fokker- Planck). l. a. terza parte è una selezione di argomenti avanzati che possono essere trattati in corsi della laurea specialistica.
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3) i=1 Teorema di moltiplicazione P(A1 ∩ A2 ∩ ... P(AN |AN−1 ∩ AN−2 ∩ ... ∩ A2 ∩ A1 ). 3). 4) si ottiene utilizzando ripetutamente la definizione di probabilit`a condizionata: P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ AN ) = P(AN |AN−1 ∩ AN−2 ∩ ... ∩ A2 ∩ A1 ) × P(AN−1 ∩ AN−2 ∩ ... ∩ A2 ∩ A1 ) = P(AN |AN−1 ∩ AN−2 ∩ ... ∩ A2 ∩ A1 ) × P(AN−1 |AN−2 ∩ ... ∩ A2 ∩ A1 )P(AN−2 ∩ ... ∩ A2 ∩ A1 ) e cos`ı via. 4). Date N persone (N < 365) determinare la probabilit`a che almeno 2 siano nate lo stesso giorno (ignoriamo gli anni bisestili ed assumiamo che le nascite siano uniformemente distribuite nell’arco dell’anno).
AN−2 ) un momento di riflessione convince che P(A1 ) = 1 − 1 2 , P(A2 |A1 ) = 1 − , 365 365 P(A3 |A1 ∩ A2 ) = 1 − 3 ... 365 P(AN−1 |A1 ∩ ... ∩ AN−2 ) = 1 − N −1 . 365 Quindi N−1 P(A) = 1 − ∏ 1 − j=1 j . 5) Una formula approssimata si pu`o ottenere notando che N−1 ∏ 1− j=1 exp − N−1 j j = exp ∑ ln 1 − 365 365 j=1 N−1 ∑ j=1 N(N − 1) j = exp − . 997. Quindi gi`a con 23 persone si ha una probabilit`a maggiore di 1/2 che almeno due persone abbiano lo stesso compleanno, con 60 si ha la “quasi certezza”, un risultato non intuitivo.
17) Ricordando che ω(E, N,V ) = eS(E,N,V )/kB ove S(E, N,V ) e` l’entropia microcanonica del sistema, kB la costante di Boltzmann e T = ∂ E/∂ S e` la temperatura. 18) Z(T,V1 , N1 ) ove Z(T,V1 , N1 ) = e−β H1 ((X1 ) dX1 e` la funzione di partizione. 16) e` il calcolo della densit`a di probabilit`a del modulo della velocit`a in meccanica statistica classica. 19) Questo e` fisicamente sensato se il raggio di interazione tra le coppie di particelle e` piccolo rispetto alla grandezza lineare del sistema descritto dalle variabili X1 .