By Forster
Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am desktop nachvollzogen werden können. Die vorliegende nine. Auflage wurde an mehreren Stellen weiter überarbeitet und es wurden einige neue Abbildungen und Übungsaufgaben ergänzt.
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Example text
Etwas allgemeiner kann man als Indexmenge statt N die Menge {n ∈ Z : n k} aller ganzen Zahlen, die gr¨oßer-gleich einer vorgegebenen ganzen Zahl k sind, zulassen. So erh¨alt man Folgen (an )n (ak , ak+1 , ak+2 , . ). 1) Sei an = a f¨ur alle n ∈ N. Man erh¨alt die konstante Folge (a, a, a, a, . . ). 2) Sei an = 1n , n 1. Dies ergibt die Folge (1, 12 , 13 , 14 , . . ) . 3) F¨ur an = (−1)n ist (an )n∈N = (+1, −1, +1, −1, +1, . . ) . 5) n 2n n∈N n∈N = (0, 12 , 23 , 34 , 45 , . . ). 5 = (0, 12 , 12 , 38 , 14 , 32 , .
Steht bei einer der beiden Voraussetzungen das Gleichheitszeichen, so ist stets ax = 0 < by. Sei also 0 < x < y und 0 < a < b. 6) folgt ax < ay und ay < by, also aufgrund der Transitivit¨at ax < by. 8) x < y und a < 0 =⇒ ax > ay Anders ausgedr¨uckt: Multipliziert man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl, so verwandelt sich das Kleiner- in ein Gr¨oßer-Zeichen. Beweis. 6) −ax < −ay. 4). 9) F¨ur jedes Element x = 0 ist x2 > 0, insbesondere gilt 1 > 0. Beweis. 8). Da 0 = 1 = 12 , ergibt sich 1 > 0.
1) Trichotomie. F¨ur jedes x gilt genau eine der drei Beziehungen x > 0, x = 0, −x > 0 . 2) Abgeschlossenheit gegen¨uber Addition. x > 0 und y > 0 =⇒ x+y > 0. 3) Abgeschlossenheit gegen¨uber Multiplikation. x > 0 und y > 0 =⇒ xy > 0 . 3) lassen sich zusammenfassend kurz so ausdr¨ucken: Summe und Produkt positiver Elemente sind wieder positiv. Zur Notation. Wir haben hier in der Formulierung der Axiome den Implikationspfeil benutzt. A ⇒ B bedeutet, dass die Aussage B aus der Aussage A folgt. Die Bezeichnung A ⇔ B bedeutet, dass sowohl A ⇒ B als auch B ⇒ A gilt, also die Aussagen A und B logisch a¨ quivalent sind.